Để giải bài toán này, ta cần tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $n^3 + 1$ chia hết cho $2^{2023}$.

Bước 1: Chuyển đổi biểu thức

Đặt $f(n) = n^3 + 1$. Ta cần tìm $n$ sao cho $f(n)$ chia hết cho $2^{2023}$, tức là: $n^3 + 1 \equiv 0 \pmod{2^{2023}}$ hay: $n^3 \equiv -1 \pmod{2^{2023}}$

Bước 2: Xét modulo $2^k$

Trước tiên, ta có thể thử nghiệm với các giá trị nhỏ của $k$, bắt đầu từ $k = 1$, $k = 2$, ..., để hiểu rõ hơn về tính chất của bài toán. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp để mở rộng lên đến $2^{2023}$.

Với $k = 1$:

Ta cần tìm $n$ sao cho: $n^3 + 1 \equiv 0 \pmod{2}$ hoặc: $n^3 \equiv 1 \pmod{2}$ Xét các trường hợp:

• Nếu $n$ là số lẻ, thì $n^3 \equiv 1 \pmod{2}$.
• Nếu $n$ là số chẵn, thì $n^3 \equiv 0 \pmod{2}$.

Vậy $n$ phải là số lẻ.

Với $k = 2$:

Tiếp theo, ta xét modulo $4$. Ta cần: $n^3 + 1 \equiv 0 \pmod{4}$ hoặc: $n^3 \equiv 3 \pmod{4}$ Kiểm tra các giá trị của $n$ modulo 4:

• Nếu $n \equiv 1 \pmod{4}$, thì $n^3 \equiv 1 \pmod{4}$.
• Nếu $n \equiv 3 \pmod{4}$, thì $n^3 \equiv 27 \equiv 3 \pmod{4}$.

Do đó, $n \equiv 3 \pmod{4}$.

Với $k = 3$:

Xét modulo $8$, ta cần: $n^3 + 1 \equiv 0 \pmod{8}$ hoặc: $n^3 \equiv 7 \pmod{8}$ Kiểm tra các giá trị của $n$ modulo 8:

• Nếu $n \equiv 3 \pmod{8}$, thì $n^3 \equiv 27 \equiv 3 \pmod{8}$.
• Nếu $n \equiv 5 \pmod{8}$, thì $n^3 \equiv 125 \equiv 5 \pmod{8}$.
• Nếu $n \equiv 7 \pmod{8}$, thì $n^3 \equiv 343 \equiv 7 \pmod{8}$.

Vậy $n \equiv 7 \pmod{8}$.

Bước 3: Tính tổng quát cho $2^{2023}$

Dựa vào các kết quả thu được từ các giá trị nhỏ hơn của $k$, ta nhận thấy rằng $n$ cần phải là một số lẻ, đồng thời phải thỏa mãn $n \equiv 7 \pmod{8}$. Với các giá trị lớn hơn của $k$, ta tiếp tục áp dụng phương pháp quy nạp và nhận ra rằng:

• $n \equiv 7 \pmod{8}$ là điều kiện cần thiết cho tất cả các $k$.

Kết luận

Vậy, các số tự nhiên $n$ thỏa mãn điều kiện $n^3 + 1$ chia hết cho $2^{2023}$ là các số có dạng: $n = 2^k \cdot m + 7 \quad \text{với} \quad m \text{ là một số lẻ}.$

Bạn có muốn giải thích thêm về các bước quy nạp này hay có câu hỏi nào không?

Câu hỏi mở rộng:

1. Giải thích chi tiết về phương pháp quy nạp để giải bài toán này.
2. Tại sao điều kiện $n \equiv 7 \pmod{8}$ lại xuất hiện khi xét modulo 8?
3. Thử giải bài toán này với một số mũ nhỏ hơn, ví dụ $2^3$ hay $2^5$.
4. Làm thế nào để áp dụng kết quả này vào các bài toán khác có dạng tương tự?
5. Giải thích vai trò của việc chia các số theo các mô-đun nhỏ trong việc giải quyết bài toán.

Mẹo:

Khi giải các bài toán liên quan đến chia hết với mũ của 2, bạn có thể bắt đầu từ các trường hợp nhỏ và áp dụng quy nạp để xác định mẫu số chung.